Ardışık Sayıların Toplamı İçin Gauss Yöntemi

Ardışık sayıların toplamında kullanılabilen pratik bir yöntem: Gauss Yöntemi.

\[1+2+3+\cdots+n\]  neden   \[\frac{n\cdot (n+1)}{ 2 }\] ye eşittir?

Bir örnekle açıklayalım;
\[1+2+3+\cdots+100=?\]

 

\begin{equation*}
\frac{
\begin{array}
\quad 1 \quad + \quad 2 \quad + \quad 3 \quad + \quad … \quad +\quad 100 \\
\quad 100 \quad + \quad 99 \quad + \quad 98 \quad + \quad … \quad +\quad 1
\end{array}
}{ \underbrace{ 101 \quad + \quad 101 \quad + \quad 101\quad +\quad … \quad + \quad101} }
\end{equation*}
100 tane 101 var \[\Rightarrow \frac{100\cdot101}{2}=50\]

Tüm sayıları önce baştan sona, sonra da sondan başa doğru yazıp alt alta topladık. Bu sayade her bir terim 101 oldu. 100 tane 101’ in toplamını bulmak için (100.101) yaptık ve tüm sayıları iki kere topladığımız için bu çarpımı ikiye böldük.
Bu formül sadece birden başlayıp birer birer artan sayılar için geçerli. Peki bu kuralı aralarında sabit fark bulunan sayılar için nasıl genişletebiliriz:
Bir örnekle açıklayalım;
\[2+5+8+\cdots+50=?\]

\begin{equation*}
\frac{
\begin{array}
\quad 2 \quad + \quad 5\quad + \quad 8 \quad + \quad … \quad +\quad 50 \\
\quad 50 \quad + \quad 47 \quad + \quad 44 \quad + \quad … \quad +\quad 2 \\
\end{array}
}{ \underbrace{ 52 \quad + \quad 52 \quad + \quad 52\quad +\quad … \quad + \quad 52} }
\end{equation*}
17 tane 52 var \[\Rightarrow \frac{17\cdot52}{2}=442\]

Tüm sayıları önce baştan sona sonra sondan başa doğru yazıp alt alta topladık. Bu sayade her bir terim 52 oldu. Kaç tane terim olduğunu bulmak için \[\frac{son terim – ilk terim}{artis miktari}+1\] formülünü uyguladık. 17 tane 52’ in toplamını bulmak için (17.52) yaptık ve tüm sayıları iki kere topladığımız için bu çarpımı ikiye böldük.
Bu mantığı kullanarak sadece birden başlayıp aralarında birer fark bulunan sayıların toplamını değil; aralarında sabit bir fark bulunan tüm sayıların toplamını bulabiliriz.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir