Asal Sayılar Neden Sonsuzdur?

Asal sayılar, 1’den büyük, 1 ve kendisinden başka bir sayıya bölünmeyen tam sayılardır. 2,3,5,7,11.. gibi sayıları asal sayılara örnek olarak verebiliriz.  Asal olmayan sayıların ise en az bir tane asal sayı böleninin olması gerekir.

Örnek olarak; 15 asal değildir. Çünkü 15, 3 ve 5 sayılarına bölünebilir.  Asal sayıların sonsuz tane olduğunun ispatları mevcuttur. Bunların en meşhuru Euclid’in ispatıdır. Euclid çelişki yöntemini kullanarak asal sayıların sonsuz olduğunu ispatlamıştır. M.Ö. 300 yılı civarlarında Euclid tarafından yazılan “Elements” adlı kitapta yer alan bu ispat şu şekildedir;

 Varsayım: Asal sayılar sonludur.

Bu sonlu asal sayı dizisinde n tane eleman olduğunu farz edelim. Bu sayıların hepsi sırasıyla;

P1 , P2 , P3 … Pn  olsun.  Bu durumda   P1 =2 , P2 =3 , P3=5 ….     olur.

Şimdi tüm asal sayıları çarpıp, bu çarpıma 1 ekleyelim. Oluşan sayıya K diyelim;

K = (P1 .P2 . P3 … Pn ) + 1

Varsayımımıza göre; K asal olamaz, çünkü K, tanımladığımız tüm asal sayıların içinde yok ve tanımladığımız bu asal sayıların hepsinden büyük.  Bu yüzden, K asal olmadığına göre; K’nın kendisinden ve 1’den başka bir sayıya, dolayısıyla bir asal sayıya bölünmesi gerekir. Bu durumda K’nın   P1 , P2 , P3 … Pn sayılarından en az birine bölünmesi gerekir.  Ama eşitlikte gördüğümüz üzere; K bu sayıların hiçbiri ile tam bölünmez, her seferinde 1 kalanını verir. O halde, K sayısının bu asallardan farklı bir asal böleni vardır. Bütün asal sayıları yazdığımızı varsaydığımız için K’nın bölünebileceği başka bir asal sayı mevcut değildir. Bu durumda K asaldır.

Sonuç olarak; varsayımımıza göre K asal olamaz, çünkü yazdığımız tüm asal sayıların hepsinden büyük. Ama K, bu yazdığımız asal sayılara bölünmediği için asal olmak zorundadır. Burada bir çelişki vardır. Bu yüzden varsayımımızın yanlış olduğu ortaya çıkar. Varsayımımızın söylediğinin aksine; asal sayılar sonlu değil sonsuzdur.

Yazar: Şeyma Erbaş

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir