Fibonnaci Sayıları – 2

Bir önceki yazımızda Fibonacci sayıları için \[F(n)= F(n-1)+F(n-2)\] denklemini elde etmiştik. Şimdiki iş bu denklemi çözmek.

Aşağıdaki çözümü okumadan önce elinize bir kareli defter alın ve daha önce tarif ettiğimiz gibi ilk 15 fibonacci sayısını hesaplayın ve (n,F(n)) grafiğini çizin. Grafiğin n’e göre büyüme hızını inceleyin.

Bazı denklemlerin çözümleri matematikte önce tahmin edilir. Sonra da bu tahminin eğer doğruysa doğru sonucu sağladığı ispatlanır. Şimdi biz de Fibonacci denkleminin n’e bağlı çözümü için bir tahmin yürüteceğiz.

F(n)dizisinin doğal sayı olan n ler için an şeklinde yazılabileceğini düşünelim. (Neden mi? Yukarıda çizdiğiniz grafiğe tekrar bakın, gerçekten hızlı büyüyor değil mi? Bir üssel fonksiyon kadar hızlı hatta?)

Bu durumda \[F(n-1)=a^{n-1}\] şeklinde yazılır ve \[F(n-2)=a^{n-2}\] şeklinde yazılır. Şimdi en baştaki denklemimizi bu ifadelerle yeniden yazalım.

\[a^n=a^{n-1} + a^{n-2} \]
Bu denklemdeki ifadeleri an-2 cinsinden yazarsak

\[ a^2 a^{n-2} = a a^{n-2} + a^{n-2} \] elde ederiz.

Bulduğumuz ifadeleri ortak paranteze alıp düzenlersek

\[ (a^2 – a -1 )\cdot a^{n-2} =0 \]elde ederiz.

Yani şu sonucu çıkardık. Eğer tahminimiz doğruysa ya \[(a^2 – a -1 )=0 \quad \text{ya da} \quad a^{n-2} =0\].

  • Eğer \[(a^2 – a -1 )=0\] ise bu durumda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözümü uygulayarak
    \[\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=5\]
    \[a_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]
  • Eğer \[ a^{n-2} =0 \quad \text{ise} \quad a = 0 \]olmalıdır ama a=0 ise F(n)=0 olur bu da bizim F(n) ler için bulduğumuz 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55.. dizisine uymaz.

Demek ki tahminimiz doğru olabileceği tek ihtimal 1.ihtimal.

Şimdi siz okuyucularımızdan aşağıdakileri göstermenizi istiyorum.

  1. Eğer \[F(n)=a^n \] \[F(n)=F(n-1)+F(n-2)\] denklemini sağlayan çözümlerden biriyse her c reel sayısı için \[F(n)=ca^n\] de bu denklemi sağlar.
  2. Eğer \[F(n)=\alpha(n) \quad \text{ve} \quad F(n)=\beta(n) \quad F(n)=F(n-1)+F(n-2)\] denkleminin iki ayrı çözümü ise \[ F(n)=\alpha(n)+\beta(n) \]de bu denklemin bir çözümüdür.
  3. (1.ve 2. maddede ispatladıklarınızı genelleyin) Eğer\[ F(n)=\alpha (n) \quad\text{ve}\quad F(n)=\beta(n)  \quad F(n)=F(n-1)+F(n-2) \]denkleminin iki ayrı çözümü ise ve c,d herhangi iki reel sayı ise \[F(n)=c\cdot\alpha(n)+d\cdot\beta(n)\] de bu denklemin bir çözümüdür.

Bunları ispatlamanız bize büyük bir avantaj sağlıyor çünkü hatırlarsanız iki tane a değeri bulmuştuk. Bu iki a değeri içinde an \[ F(n)=F(n-1)+F(n-2)\] denklemini sağlıyordu. Bu durumda yukarıdaki ispatladıklarınızı kullanarak şunu söyleyebiliriz.

\[ F(n)= c\cdot {\frac{1+\sqrt{5}}{2}}^n+d\cdot{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^n \] da denklemin bir çözümüdür. Hatta bu işten karlı bile çıktık çünkü bu iki çözümü birbirine harmanlayarak daha genel bir çözüm elde ettik.

Şimdi bu son verdiğimiz F(n) çözümü F(n)=F(n-1)+F(n-2) denklemini sağlıyor fakat buradaki c ve d sayılarının kaç olduğunu bilmiyoruz.

Bu da bizi son aşamaya taşıyor. Biliyoruz ki F(1)=1 F(2)=1 şimdi yukarıdaki çözümümüze soralım bu iki değeri sağlıyor mu?

\begin{align*}
F(1) & = c\cdot{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^1+d\cdot{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^1\\
&={\frac{c+d}{2}}+\sqrt{5}\cdot {\frac{c-d}{2}}=1\\
F(2) & = c\cdot{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2+d\cdot{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^2\\
&= c\cdot{\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}+d\cdot{\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}\\
&=3\cdot{\frac{c+d}{2}}+\sqrt{5}\cdot {\frac{c-d}{2}}=1
\end{align*}

Eğer  \[m=\frac{c+d}{2} \quad \text{ ve} \quad  n=\frac{c-d}{2}\] dersek elimizde iki bilinmeyenli iki denklem var.

\begin{align*}
m+5n=1\\
3m+5n=1
\end{align*}

Taraf tarafa çıkarırsak 2m=0 ve m=0 buluruz. Böylece n=15olur.

m=0 olduğundan d= – c olur ve n=c olur. Yani c=15ve d=-15 Böylece Fibonaccci probleminin çözümünü bulmuş olduk.

\[F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\]

Şimdi \[F(100)=\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{100}-\frac{1}{\sqrt{5}}{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{100}\] çıkmış oldu ve böylece F(100)ü hesaplamış olduk.

Bir sonraki yazıda görüşmek üzere

Matematikli Günler!

Yazar: Yasin Karacan

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir