Saymak, İşlemler ve Sonsuzluk-2

Bir önceki yazımızda kesir kavramını tanımlamıştık… a ve b gibi iki sayma sayısı bize bir kesir veriyordu. Bu kesiri (a,b) şeklinde göstereceğiz. Sözle ifade ederken (a,b) kesrini a nın b’ de biri veya b’de a şeklinde ifade edeceğiz.

Fakat burada pasta problemine dönmemiz gerekiyor.

  • 3 dilim pastayı 2 kişiye eşit bölüştürmek için kişi başına ne kadar pasta vermemiz gerekir? (Dikkat ederseniz tane kelimesini kullanmadım çünkü böyle bir sayma sayısı yok)
  • 6 dilim pastayı 4 kişiye eşit bölüştürmek için kişi başına ne kadar pasta vermemiz gerekir?

1.de önce her iki kişiye birer dilim pasta veririz. Daha sonra kalan dilimi ortadan ikiye bölüp ikisine de yarım veririz.

2.de önce her kişiye birer dilim pasta veririz. 2 dilim kalır. 2 dilimi de ortadan ikiye bölüp oluşan 4 parçayı herkese birer birer vermeliyiz. Böylece bir kişi bir tam ve bir yarım alır.

 

Bu örnek bize şunu söylüyor  (3,2) nin ifade ettiği kesrin değeri ile (6,4) ün ifade ettiği kesrin değeri birbirine eşittir.

Şimdi bütün sayma sayılarını düşünelim ve bütün sayma sayılarını ikili ikili gruplayalım.

(1,1)  (1,2)  (1,3)  (1,4)  (1,5)  (1,6)  (1,7)  (1,8) . . . . .

(2,1)  (2,2)  (2,3)  (2,4)  (2,5)  (2,6)  (2,7)  (2,8) . . . . .

(3,1)  (3,2)  (3,3)  (3,4)  (3,5)  (3,6)  (3,7)  (3,8) . . . . .

Bunlardan bazıları aynı değere sahip peki bunu neye göre belirliyoruz?

Yani (a,b) ve (c,d)  ne zaman eşit.

Mesela (3,6) ya eşit olan diğer kesirler kimler?

(1,2)  (2,4)  (4,8)  (5,10)  (6,10)….

Yani pay ve paydayı bir tam sayıyla çarptığımızda (3,6) ya eşit olan kesirler ile (3,6) kesrinin pay ve paydasını bir tam sayıyla çarptığımızda elde ettiğimiz kesirler.

Şimdi bulgularımızı biraz daha kitabi bir yazımla yazalım. İlk başta parmaklarımızla eşlediğimiz nesnelerde kaç “tane” parmak kullandığımızı belirten elemanlardan bahsettik. Adlarına sayma sayısı dedik. İşte bu sayma sayıların oluşturduğu kümeden iki eleman alıp grupladığımızda da buna kesir dedik ve kesirlerin ne zaman birbirine eşit olduğunu söyledik. Şimdi elimizde daha başka bir küme var. Bizim sayma sayılarını mesela 5’i  (5,1) ile gösterirsek bu durumda a sayma sayısını (a,1) şeklinde gösteririz.

 

Bu yeni küme üzerinde şöyle ihtiyaçlarımız var.

i) 2 dilim pastanın 3 te biri ile 5 dilim pastanın üçte biri toplanırsa ne kadarlık pasta elde edilir?

2 dilim pastanın üçte biri  ile 5 dilim pastanın üçte biri 7 dilim pastanın üçte biri eder. Böylece

(2,3)+(5,3)=(7,3) elde ederiz.

Yani (a,c)+(b,c)=(a+b,c)

ii) 3 dilim pastanın dörtte biri ile 3 dilim pastanın beşte biri toplanırsa ne kadar pasta eder? 

3 dilim pastanın dörtte biri, 15 dilim pastanın 20 de biri ile eşittir. 3 dilim pastanın beşte biri de 12 dilim pastanın 20 de biri ile eşittir. i) den yararlanırsak (15,20)+(12,20)=(27,20) elde ederiz.

iii) 4 dilim pastanın üçte biri ile 5 dilim pastanın 6 da biri toplanırsa ne kadar pasta eder ?

4 dilim pastanın üçte biri 8 dilim pastanın altıda birine eşittir. i) yi kullanarak

(8,6)+(5,6)=(13,6) elde ederiz.

 

Şunu söylemek istiyoruz, kesirleri de toplamaya ihtiyacımız var.

(a,b)+(c,d)=(ad,bd)+(cb,db)=(ad+cb,db)   şeklinde toplama yapabiliriz.

 

Çıkarma için de yukarıdaki gibi pasta sorularına i, ii ve iii olarak 1.kesir 2.kesirden ne kadar fazladır veya 2.kesir 1.kesirden ne kadar fazladır şeklinde sorarak aynı çözüm metodu ile ilerleyerek

(a,b)-(c,d)=(ad-cb,db) elde ederiz.

 

Bir sonraki ihtiyacımız ise şöyle:  3 tane altıda beş pastayı toplarsak ne kadar pasta elde ederiz?

(5,6)+(5,6)+(5,6)=(15,6) eder. Bu soruyu matematiksel olarak 3(5,6)  şeklinde yazacağız.

Yani n (a,b)=(na,b)

 

Şimdi bir başka ihtiyacı tarif etmeye çalışalım.

Bir parçanın beşte ikisinin üçte biri ne kadar eder?

Bir pastanın beşte ikisi o pastanın onbeşte altısı gibidir. Onbeşte altının üçte biri de onbeşte iki gibidir.

(2,5) / 3 = (6,15) / 3 =(2, 15)

Yani

(a,b) / n =(na,nb) / n =(a,nb) elde ederiz.

Şimdi bir pastanın üçte ikisinin altıda beşini nasıl alacağımızı halledelim.

Altıda beşini almak demek 6 ya bölüp elde ettiğimiz parçanın 5 katını almak demektir.

(2,3)(5,6)=((2,3)/6)5 =((12,18)/6 )5=(2,18) 5 =(10,18)

 

Böylece artık iki kesri çarpmayı nasıl yapacağımızı da görmüş olduk.

(a,b)(c,d)= ((a,b) /d ) c =(a,db)c=(ac,db)

Şimdi kesirlerdeki son ihtiyacımıza geçelim.

Bir pastanın dörtte üçü, beşte ikisinin kaçta kaçıdır?

Bu sorunun cevabını bulabilmek öncekilerden kısmen daha zor. Pastanın dörtte üçü yirmide onbeşi gibidir. Beşte ikisi ise yirmide sekizi gibidir. Yani 20 dilim bir pastadan ilk kesir onbeş dilim alırken, ikinci dilim sekiz dilim almıştır. Buna göre ilk kesir ikinci kesrin sekizde birinin onbeş katıdır.Yani sekizde onbeşidir.

(3,4)/(2,5)=(15,20) / (8,20) =(15,8)

Yani kesirlerde bölme işlemini şöyle yapıyoruz.

(a,b) / (c,d)=(ad,bd) / (bc,bd)=(ad,bc)

 

Şimdi bize bu kuralların ilkokulda nasıl öğretildiğini anımsayarak nostalji yapalım. 

Bu kurallardan bahsedebilmek için (a,b) kesrini a/b şeklinde yazıp, a’ya pay b’ye payda dememiz gerekir.

Toplama işlemi için ne yapıyorduk (a,b)+(c,d)=(ad,bd)+(bc,bd)=(ad+bc,bd)

İlk eşitlik sırasında yaptığımız işlemi yani (a,b)=(ad,bd)  (c,d)=(bc,bd)  bize payda eşitleme diye öğretmişlerdi.

İkinci eşitlik sırasında yaptığımız işlemi ise paydası aynı olan kesirlerde paylar toplanır payda aynı kalır diye öğretmişlerdi.

Çıkarma işlemi için de çok benzer şekilde (a,b)-(c,d)=(ad,bd)-(bc,bd)=(ad-bc,bd)

payda eşitleyip, paydaları aynı olan kesirlerde çıkarma işlemi için payları çıkarır paydayı aynı bırakırız.

Çarpma işlemi için çıkardığımız sonuç (a,b)(c,d)=(ac,bd) idi.

Bunu öğretirken ise paylar çarpılır paydalar çarpılır diye öğrenmiştik.

Bölme işlemi için çıkardığımız sonuç (a,b) / (c,d) =(ad,bc) idi

Dikkat edersek (ad,bc)=(a,b)(d,c) olduğundan bize bölme işlemini öğretirken iki kesri bölmek için ikinciyi ters çevir birinci ile çarp diye öğretilirdi.

İşte hikayenin aslı yukarıda anlattığımız gibi. Herşey ihtiyaçlar üstüne gelişti. Hikayenin devamı olan irrasyonel sayılara bir sonraki yazımızda geçeceğiz.

Yazar: Yasin Karacan

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir