Saymak, İşlemler ve Sonsuzluk-3

Önceki yazımızda gerçek hayattaki işlemlerden bahsettik. Epey somut örnek verdik. Şimdi ise gerçek hayatta geometriden gelen bir örneğe bakalım.

Alanı 3 birim kare olan karenin bir ayrıtı kaç br dir?

Böyle bir soruyu çözmek için ayrıtın x br olduğunu düşünelim.

Bu durumda karenin alanı x⋅x birim kare olur ve sorumuz da x⋅x birim kare = 3 birim kare yani

x⋅x = 3 sorusuna döner.

Peki elimizde şu an için en büyük küme olan kesirler kümesinden hangi kesrin kendisiyle çarpımı 3’tür?

Bir kesri (a,b) şeklinde yazıyoruz. Burada a da b de sayma sayısı. Daha fazlasını da varsayabiliriz. (a,b) bu kesrin olabilecek en sade hali.

Bu durumda (a,b)⋅(a,b) = (3,1) . Yani (a⋅a,b⋅b) = (3,1). Bu durumda a⋅a = 3 (b⋅b). Bu eşitliğe dikkatli bakarsak a⋅a nın 3’e tam bölündüğünü görürüz. a bir sayma sayısı olduğundan a⋅a nın 3’e tam bölünmesi için a’nın da 3’e tam bölünebilmesi gerekir. O zaman a bir sayma sayısının 3 katına eşit. Diyelim ki a = 3k ve k bir sayma sayısı. Bu durumda

(3k)⋅(3k) = 3(b⋅b)
9k⋅k = 3(b⋅b)
3k⋅k = b⋅b

Az önce yürüttüğümüz mantıkla b⋅b nin 3’e tam bölünebilmesi dolayısıyla da b nin 3’e tam bölünebilmesi gerekir.

Fakat b de a da 3’e tam bölünüyorsa baştaki (a,b) kesri en sade halinde değildi!

Bir çelişkiye ulaştık. Bu çelişki bize diyor ki hiçbir kesrin kendisiyle çarpımı 3 etmez.

Peki alanı 3 olan kare yok mu gerçek hayatta?

Böyle bir kare oluşturulabileceğini göstermek siz okuyucularımıza bir ödev. (İpucu: Sayma sayıları ile oluşturabileceğiniz uzunluklarla başlayarak öklid bağıntısı ile 3 birim kare alana sahip karenin bir kenarını oluşturabilirsiniz.)

Bir başka problem ise Pisagor bağıntısından gelir. Pisagor bağıntısı keşfedildiğinde sayma sayılarla uzunluğu verilen dik kenarlara sahip dik üçgenlerin hipotenüsleri hesaplanmaya çalışılır.
Gelgelelim daha ilk şekil tam bir hüsrandır. Çünkü dik kenarları 1’e eşit olan bir dik üçgenin hipotenüsü x⋅x = 1⋅1 + 1⋅1 = 2 olarak ifade edilir.

Diyelim ki x=(a,b) kesri bunun bir çözümü olsun ve (a,b) bu kesrin en sade hali olsun. O halde x⋅x = (a⋅a, b⋅b) = (2,1) ve a⋅a = 2b⋅b elde ederiz. Bu durumda a⋅a 2’ye tam bölünmelidir. Yukarıdaki ile aynı şekilde a da 2’ye tam bölünmelidir. Bu durumda a= 2k ve k bir sayma sayısı olabilecek şekilde yazabiliriz. Buradan da 4k⋅k = 2b⋅b ve 2k⋅k = b⋅b elde ederiz. Yani b de 2’ye tam bölünmelidir.

Fakat bu durumda (a,b) gösterimi ifade ettiği kesrin en sade şekli olamaz.

Fakat bir dik açı yaratıp açının kollarını birer birim ölçüp hipotenüsü çizersek aslında orada bir hipotenüs oluşturabileceğimizi görürüz. O halde bu uzunluk kaç birimdir?

İşte tam olarak bu noktada Pisagor ve takipçileri çok şaşırmıştı. Kendilerine ait meclislerinde bunu bir sır olarak saklama kararı aldılar. Hatta rivayet olunur ki o dönemde bu meclisten bir kişi halka bir şey bulduklarını fakat bunu ölçemediklerini anlatınca idam ile cezalandırılmıştı.

Gerçek hayatta ölçüm yapmamızı sağlamak için eğer bir küme oluşturacaksak kesirli sayılar yeterli değil. İşte bu nedenle başka sayılara ihtiyacımız var. Bu sayıları yani söz gelimi kesirli sayıların ölçme ihtiyacımızı karşılamadığı zamanlarda kullanmamız gereken sayıları tanımlamak ortalama bir lise öğrencisinin seviyesi için bir kademe zor. Fakat yine de tanımlamanın nasıl yapıldığını merak edenler Dedekind parçaları veya Cauchy dizilerine bakabilirler.

Yine de bu yazıyı yazan kişinin fikrine göre neden bir tanıma ihtiyaç duyduğumuzu anlamak da en az bu sayıların inşasını anlamak kadar önemli.

Matematikteki sayma sayılarını tanımladıktan sonra kesirli sayıları tanımlamak için şöyle bir yol izleyebilirdik.

a ve b sayma sayıları olmak üzere a⋅x = b denklemini sağlayan herşeye kesirli sayı denilir.

Fakat bu tanım her ne kadar ilk bakışta göze güzel görünse de çok büyük bir eksiği vardır. Şimdi kendinizi sayma sayılar dünyasında kabul edin. Başka hiçbir sayı bilmiyorsunuz, sadece sayma sayılarını biliyorsunuz. Biri size gelse 3’ü kaçla çarparsam 4 olur dese, büyük ihtimalle öyle bi sayı yok ki dersiniz. Çünkü sadece sayma sayılarını tanıyorsunuz.

Bu nedenle başka bir yol izledik ve dedik ki iki tane sayma sayısının arasına virgül koyarak oluşturduğumuz (böyle küme olur mu demeyin, matematikte tarif ettiğiniz her nesneler grubu bir küme oluşturur. Örneğin elma armuttan oluşan kümeler gibi) kümeye kesirli sayılar diyelim.

Sonra da bu yeni küme üzerinde 4 tane işlem tanımladık.

Şimdi kesirli sayıları ve “kesirli olmayan” (bu bir tarif olamaz!) sayıları tanımlarken de yapılması gereken kesirli sayıları kullanarak tanımlanan bir küme göstermek. Sonra da bu kümenin yukarıda bahsi geçen kesirli sayıların çözemediği denklemleri çözdüğünü göstermek. Son olarak da bu kümenin içinde kesirli sayıların bir kopyasının olduğunu göstermek.

Bu yeni tanımlanan kümenin adı reel (gerçel) sayılar. Gerçel sayıların güzel bir özelliği var. Elimizde olan bir gerçel sayının her yakınlığında bir rasyonel sayı bulabiliyoruz. Bu tabi ki ispatlanması gereken bir özellik fakat bu yazının seviyesi için bu ispat mümkün değil çünkü reel sayıların “tanımını” dahi yapmadık.

Sayılar üzerindeki işlemlerden çok bahsettik. Şimdi de sayılar üzerindeki sıralama ilişkisinden bahsedelim.

Gerçek hayatta kullandığımız 2 elma 1 elmadan fazla tabiri bize matematikte sayma sayıların sıralanabildiğini söylüyor.

Söz gelimi 1<2<3<4…… şeklinde sıralayabiliriz.

Sonra yeni bir küme tanımladık hatırlarsanız, bu kesirli sayılar kümesinin içinde bulunan a bir sayma sayısı olmak üzere (a,1) şeklinde yazılan elemanlar bizim için daha ilkel olan a’nın kesirli sayılar dünyasındaki karşılığı olacaktı.

Şimdi sorumuz yine aynı: Kesirli sayıları sıralamaktan bahsedebilir miyiz?

Ahmet bir pastanın beşte ikisini alsa Mehmet de yedide üçünü alsa hangisi daha fazla almış olur?

Pastanın beşte ikisi otuz beşte on dördü gibidir. Yedide üçü ise otuz beşte on beşi gibidir. Bu durumda otuz beşte beş otuz beşte on dörtten az olduğu için,
(2,5) < (3,7) yazarız. Demek ki kesirli sayıları sıralamak da mümkün.
Reel sayıların da sıralanabilmesini isteriz. Çünkü dik kenarları bir olan üçgende üçgen eşitsizliği geometriden bize hipotenüsün 1+1 = 2 den küçük olması 1-1 = 0 dan büyük olması gerektiğini söyler. Demek ki reel sayılar için yaptığımız tanımın bu sıralamaya müsaade etmesi gerekiyor.

Bir sonraki yazımızda sayıların hikayesini anlatmaya sayıların içinde bulundukları kümeleri saymakla devam edeceğiz.

Yazar: Yasin Karacan

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir