Saymak, İşlemler ve Sonsuzluk-4

Hikayemize başlarken sayma sayıları ile başladık. Sayma sayıları parmaklarımızı nesnelerle eşlemek yoluyla nesneleri saymak için oluşturduğumuz bir kavramdı.

Fakat elimizi verdik kolumuzu kaptırdık. Nesneleri saymak için sayma sayılarını tanımladık. Sonra ise sayma sayılarını ikili ikili gruplayarak kesirli sayıları oluşturduk. Son olarak kesirli sayıların bize uzunlukları ölçmede yeterli olmadığını söyledik ve gerçel sayılara ihtiyacımız olduğunu sonucuna vardık.

Peki şimdi sorular geliyor.

Kaç tane sayma sayısı var?
Kaç tane kesirli sayı var?
Kaç tane gerçel sayı var?

Bu sorulara cevap vermek için biraz uğraşacağız. Öncelikle sayma sayılarının sonlu olmadığını söylemek ile başlayabiliriz. Sayma sayıları ne 5 tane ne 6 tane ne 100000 tane. O zaman cevaba giden yolda soruyu değiştireceğiz.

Kaç tane ifadesi sonu olan kümeler için bizim yaşadığımız dünyada anlamlı bir soru. Fakat sonu olmayan kümeleri nasıl sayarız?

Bu soruyu, saymanın birebir eşlemeli doğasından yararlanarak çözeceğiz. Nesneleri sayarken yaptığımız aslında bir nesneyi bir sayıyla eşlemekti, o nesnenin üzerine bir sayma sayısı yazmışız gibi düşünülebilir.

Kedinin kuyruğunu yakalaması diye bir tabir vardır, sizler de duymuşsunuzdur. Saymayı sayma sayıları ile yapıp dönüp sayma sayılarını saymak tam da bu deyime uygun. Gel gelelim sayma sayılarının kümesi ile bire bir eşleyebileceğimiz kümelere(bir diğer deyişle sayma sayıları ile etiketleyebileceğimiz kümelere) eleman sayısı sayma sayıları kadar diyebiliriz. Matematikçiler bu “çokluğa” sayılabilir sonsuzluk demişler.

Mesela çift sayma sayılarını sayma sayıları ile etiketleyebiliriz. 2’nin üzerine 1, 4’ün üzerine 2, 6’nın üzerine 3 genel olarak bir çift sayma sayısı 2n’i n ile etiketleyebiliriz. Tam da bu nedenden çift sayılarının çokluğu sayma sayıları kadardır.

Peki kesirli sayılar? Onları da etiketleyebilir miyiz? Eğer etiketleyebileceğinizi iddia ediyorsanız, iddia yetmez ispat gerekir. Kesirli sayıları aşağıdaki şekilde listeleyelim.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) . . . .

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) . . . .

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) . . . .




Bu şekilde bütün kesirli sayıları listeleyebiliriz. Şimdi etiketlemeye başlayalım.
(1,1) üzerine 1 yapıştıralım. (1,2) üzerine 2 ,(2,1) üzerine 3, (3,1) üzerine 4 etiketleyelim. (2,2)’yi atlayalım çünkü zaten (2,2)=(1,1) ve biz (1,1) i halihazırda saydık.(1,3) üzerine 5 yapıştıralım ve aşağıdaki gibi devam edelim.

Yol üzerinde ne zaman daha önce etiketlediğimiz bir sayı görürsek onu atlayacağız ve etiketlemeye o kesri atlayıp devam edeceğiz.

İşte böylece kesirli sayıları etiketlemiş olduk.

Yani ne kadar sayma sayısı var ise o kadar kesirli sayı var. Evet, bu biraz garip geliyor kulağa başta bunu anlıyorum. Fakat kendinizi ikna etmeniz gereken kısım az önce yaptığımız saymak tanımı.

Şimdi daha da ilginç bir gerçek.

Reel sayılar ile sayma sayıları aynı çoklukta değil!

Daha önceki yazımızda her reel sayıyı ondalık gösterimle gösterebileceğimizden bahsetmiştik.

Hadi diyelim ki her reel sayıyı etiketledik. Şimdi etiketlediğimiz reel sayıları sıralayalım.

1 a0 , a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8….
2 b0 , b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8….
3 c0 , c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8….
4 d0 , d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8….
….
….
….

Tüm listeyi hayal edin. Bu listede sözde her reel sayı var. Şimdi ben size bu listede olmayan bir reel sayı söyleyeceğim.

Sayının ilk basamağı a0’dan başka herhangi bir rakam olsun. Buna a’0 diyelim. Sayının ikinci basamağı b1 den farklı herhangi bir rakam olsun. Buna b’1 diyelim. Sayının üçüncü basamağı c2 den farklı herhangi bir rakam olsun. Buna c’2 diyelim. Bu şekilde köşegen üzerinden ilerleyelim.

Elde ettiğimiz sayı a’0,b’1c’2d’3e’4….

Fakat bu sayı listede yok çünkü listedeki hangi sayı ile kıyaslarsak kıyaslayalım ilk sayı için 1.basamakları farklı, ikinci sayı için 2.basamakları farklı ve böylece bu sayı listedeki hiçbir sayıya eşit değil.

Yani nasıl listelersek listeleyelim geride kaçan elemanlar oluyor. Bu kaçan elemanı da listenin “sonuna” eklerim diyen arkadaşlara duyurulur. Listede olmayan sayı için tek alternatif bu değil! ve eğer o arkadaşlar haklı olsaydı zaten o liste üzerinden de bu argüman baştan çalıştırılıp yine bir kaçak eleman bulunabilirdi.

Sözün özü şu sonlu sayılar var, sayma sayıları kadar çok eleman içeren kümeler var, bu iki gruba da girmeyen kümeler var.

Bu yazımızda da kesirli sayıların sayma sayısı kadar olduğunu fakat reel sayıların sayma sayıları ile eşit çoklukta olmadığını söyledik.

Siz de bu kavramları anlayıp anlamadığını kontrol etmek için Fibonacci sayılarının ve asal sayıların sayma sayıları ile birebir eşleneceğini göstererek bu iki kümenin sayma sayıları ile aynı çoklukta olduğunu gösteriniz.

Sayılarla ilgili şimdilik bu kadar. Bir sonraki yazı dizimizde görüşmek dileğiyle.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir